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ln x1x2 xn

矩估计 E(x)=∫(-∞,+∞)f(x)xdx=θ/(1+θ) X'=Σxi/n=E(x)=θ/(1+θ) θ=x'/(1-x') ,其中Σxi/n 最大似然估计 f(xi.θ)=θ^n x1^(θ-1) x2^(θ-1).xn^(θ-1) lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)ln(x1x2.xn) [lnL(θ)]'=n/θ+ln(x1x2xn)=0 θ=-n/ln(x1x2.xn) 最大似然估计为 θ=-n/ln(x1x2.xn) 如有意见,欢迎讨论,共同学习;如有帮助,请选为满意回答!

x1 x2……xn的联合密度是L(θ)=f(x1)f(x2)……f(xn)=θ^n*(x1x2……xn)^(θ-1)L'(θ)=nθ^(n-1)(x1x2……xn)^(θ-1)+θ^n*(x1x2……xn)^(θ-1)*ln(x1x2……xn)=0则θ=-n/ln(x1x2……xn)

当ai全相等时,n / (1/a1 + 1 / a2 + + 1 / an) = (a1*a2**an)^(1/n) = (a1+a2++an) / n 当ai不全相等时,考虑f(x)=lnx,则f`(x)=1/x>0,f``(x)=-1/x^2<0 (x>0),则f(x)严格递增且严格上凸.由严格上凸,则有杰森不等式:f((x1+x2++xn)/n)>=(f(x1)+f(x2)

不是的.例如:x1,x2都服从参数为1/3的两点分布,即P{x=0}=2/3,P{x=1}=1/3此时x1+x2的取值就有0,1,2三种,所以它肯定与x1,x2不是同一分布了而x1*x2的取值虽然也是0,1,但是P{x1*x2=1}=1/9.它也与x1,x2不是同一分布.

因为是简单随机样本,所以各样本间相互独立,那么就有:E(X1+X2+……+Xn) = E(X1)+E(X2)+……+E(Xn) = μ+μ+……+μ = nμD(X1+X2+……+Xn) = D(X1)+D(X2)+……+D(Xn) = nσ^2

利用换元,使X2/X1=t 原式=ln t 当t=1时,ln t=t-1 在 t=1 之后 ln t的导数 1/t始终小于1 ,而t-1 的导数始终是1 增长的幅度将一直大于ln t 故lnX2/X1X

因为x1,x2,x3..xn都是正数, 所以有1+x1>=2√x1, 1+x2>=2√x2, 1+x3>=2√x3 1+xn>=2√xn 于是就有了:(1+X1)(1+X2)(1+Xn)>=2^n√(x1x2x3.xn)=2^n 不等式得证.

均值=(X1+X2+.+Xn)/n方差=[(X1-均值)^2+(X2-均值)^2+.+(Xn-均值)^2]/n

^对数恒等自式:a^loga(N)=百N,对数法则:loga(MN)=loga(M)+loga(N)因此 √(x1x2xn)=e^度ln[√(x1x2xn)]=e^[(lnx1+lnx2++lnxn) / n].

独立同分布是说随机变量之间 相互独立 ,而且分布函数相同.既然分布函数相同,因此只要期望,方差是有限值,就必然是一样的.

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