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设二阶可微函数F(x)=∫0x((x+1)%t)F(t)Dt=E^x+x^2%F...

∫(x+1-t)f'(t)dt 对这个数对x求导数要注意先变换为∫(1-t)f'(t)dt +x∫f'(t)dt x∫f'(t)dt 这个对x求导是复合函数求导然后初始条件满足 f(0)=2化简后2f''(x)+f'(x)=e^x+2 解这个微分方程

f(x)=∫(上限是x下限是0)(x^2-t^2)f'(t)dt+x^2 所以f(0)=0,又函数f(x)具有连续一阶导数,对上式两边求导得; f'(x)=)=∫(上限是x下限是0)2xf'(t)dt+2x=2xf(x)+2x=2x(f(x)+1) dy/(y+1)=2xdx 解得f(x)=e^x^2-1.

∫[0,x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x),设F'(t) = f(t)x=0时,左边=0,右边=1-f(0),故f(0) = 1左 = 2f(x) - 1右边对x求导得2x + e^x - 2f'(x) + 12f(x) - 1 = 2x + e^x - 2f'(x) + 1整理得f'(x) +

积分上限是x,还是x^2 不清楚这道题思路如下:首先方程两侧对x同时求导数如果积分上限是x^2,求导后为 2*2x*(x+1)f(x) = 1 取x = 2 则f(2) = 1/24如果积分上限是x,求导后为 2(x+1)f(x) = 1 取x = 2 则f(2) = 1/4

2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x)两边求导:2f(x)=3e^3x+3f'(x)-f''(x)f''(x)-3f'(x)+2f(x)=3e^3x特征根为2和1设特解y=Ae^3x,y'=3Ae^3x,y''=9Ae^3x,代入解得:A=3/2f(x)=C1e^2x+C2e^x+(3/2)e^3x,f(0)=1/2,代入:C1+C2=-1原积分等式令x=0:0=1+3f(0)-f`(0),f'(0)=5/2f'(x)=2C1e^2x+C2e^x+(9/2)e^3x f'(0)=5/2代入:C1=-1 C2=0所以:f(x)=-e^2x+(3/2)e^3x,

f(x)=e^x+∫[0,x]e^(x^2-t^2)f(t)dt=e^x+x∫[0,x]f(t)dt-∫[0,x]tf(t)dt f'(x)=e^x+2x∫[0,x]f(t)dt+xf(x)-xf(x) f'(x)=e^x+2x∫[0,x]f(t)dt f''(x)=e^x+2∫[0,x]f(t)dt+2xf(x) f'''(x)=e^x+2f(x)+2f(x)+2xf'(x) f'''(x)=e^x+4f(x)+2xf'(x)

1.∵F(x)=x∫f(t)dt-∫tf(t)dt∴F'(x)=∫f(t)dt+xf(x)-xf(x) (应用参数积分求导公式)=∫f(t)dt;2.∵F(x)=∫lnt/(1+t)dt(x>0)∴F(1/x)=∫lnt/(1+t)dt故F(x)-F(1/x)=∫lnt/(1+t)dt-∫lnt/(1+t

x>-1时,可微函数满足条件f'(x)+f(x)-1/(x+1)∫f(详情

两边对x求导得:f'(x)+2f(x)=2x即y'+2y=2x特征方程为r+2=0,得r=-2y*=ax+b,代入得:a+2ax+2b=2x,对比系数得:2a=2,a+2b=0,解得:a=1,b=-1/2所以y=Ce^(-2x)+x-1/2代入原等式:Ce^(-2x)+x-1/2+2[-1/2Ce^(-2x)+x^2/2-1/2x](0,x)=x^2即 Ce^(-2x)+x-1/2+2[-1/2Ce^(-2x)+x^2/2-1/2x+1/2C]=x^2化简即得:-1/2+C=0,得C=1/2所以f(x)=1/2e^(-2x)+x-1/2

xf(x)=x^2+∫(1,x)f(t)dt求导得到:xf '(x)+f(x)=2x+f(x)∴ f '(x)=2∴ f(x)=2x+c又由于:f(1)=1解得,c=-1∴ f(x)=2x-1

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